Un applet para el problema de Apolonio.

El problema de Apolonio.

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La idea de este applet es ilustrar de una manera sencilla el contenido de la página El problema de Apolonio de éste mismo blog y que sea visible en un mayor número de dispositivos. En dicha página hay disponible un enlace para descargar una versión para escritorio de la misma construcción.

Dicha construcción está basada en las teorías de Poncelet y Gergonne gracias a las cuales es posible llegar a una única construcción que resuelve los diez casos.

Apollonius 3.13


Dos circunferencias secantes y un punto que coincide con uno de los de intersección. Aparentemente hay cero soluciones para el problema de Apolonio bajo esta configuración.


En realidad el punto es una circunferencia de radio 0 y al crecer éste se nos revelan las ocho soluciones que puede tener el problema.


Todas ellas brotan del punto de partida. El radio sigue creciendo y al alcanzar el segundo punto de intersección cuatro de las soluciones son absorbidas por él,


pero aparecen de nuevo cuando el radio creciente sobrepasa dicho punto. Otra vez ocho soluciones.


El radio sigue aumentando y cuando la circunferencia roja alcanza la tangencia con las otras dos, cuatro de las soluciones se confunden o se esconden entre ellas aparentando cuatro soluciones.


Pero todo es apariencia. En realidad siempre hay ocho soluciones.

Apolonio Suite 1


Apolonio Suite 1.


La suite reúne diez piezas que se corresponden con cada uno de los casos del Problema de Apolonio.

Variaciones de Apolonio 1

Secuencia sobre los diez casos del Problema de Apolonio.



La secuencia se inicia con la aparición de tres puntos alineados. Seguidamente una circunferencia nace de uno de ellos aumentando su radio paulatinamente hasta un valor determinado. Los otros dos puntos se añaden posteriormente al juego de la transformación al mismo tiempo que se incorporan otras nuevas. Por un lado la contracción de las circunferencias hasta la reducción al punto de partida y por otro la variación de la curvatura hasta convertirlas en rectas. La secuencia termina cuando los elementos quedan reducidos a los tres puntos de partida. Pero antes habrán pasado, al menos una vez, por cada uno de los diez casos del Problema de Apolonio.

El Problema de Apolonio. El Arte de la Geometría.

PREFACIO


El arte de la geometría.

El propósito de este cuaderno no es tanto enseñar una serie de trazados geométricos más o menos complejos sino mostrar el carácter formal y plástico derivado de los mismos; llegar a una región del conocimiento donde el arte y la geometría se confunden; donde tanto se puede hablar de la geometría en el arte como del arte de la geometría. Todo a partir de lo que se conoce como el problema de Apolonio.

Sin duda se trata de uno de los problemas geométricos planteados en la antigüedad que más estudios y dedicación ha generado a lo largo de los siglos. Tanto es así que aún continúa suscitando interés en nuestros días, bajo nuevos puntos de vista y procedimientos.

Mi propuesta trata de ofrecer una solución que contenga todos los casos, incluidos los más particulares o casos extremos, en una construcción dinámica que permita transitar de forma ininterrumpida entre unos y otros.

Los conceptos clave los he extraído del imprescindible libro de Pedro Puig Adam “Curso de geometría métrica” (Madrid, 1947), cuyas explicaciones parecen adelantarse medio siglo al desarrollo de la geometría dinámica.


La estructura del cuaderno consta de dos partes:
  1. Un total de once páginas cerradas de las cuales una presenta de forma muy sintética el concepto global del problema de Apolonio, en lo que a su enunciado se refiere, a través de una construcción personal realizada con el programa de geometría dinámica GeoGebra. Las diez restantes están dedicadas a cada uno de los casos en que se divide el libro “Tangencias” de Apolonio de Perga (262 a. C., Perga-190 a. C., Alejandría).
  2. Una página de entradas, Miscelánea, propia de un cuaderno o bloc, que permite ilustrar, explicar, actualizar y mostrar la evolución de este trabajo.

A través de las pestañas puede accederse a cada una de las páginas y la circulación por las entradas puede realizarse desde el archivo del blog o bien pasando de una a otra directamente.