El problema de Apolonio.

En algunos tratados el problema de Apolonio queda planteado como la búsqueda de las circunferencias tangentes a otras tres dadas. Este enunciado induce a creer que los elementos dados han de ser siempre tres circunferencias y que las posibles soluciones también lo sean cuando en realidad el radio de las mismas puede ser cualquiera, incluidos cero e infinito.

Así cada circunferencia puede aparentar tres formas diferentes según el valor del radio:

1. Punto, si r=0.
2. Circunferencia, si ∞>r>0.
3. Recta, si r=∞.

Un enunciado más preciso, profusamente divulgado y que algunos consideran como el original perdido de Apolonio, considera este concepto ampliado de circunferencia:

"Dados tres elementos, que cada uno de ellos puede ser una circunferencia, una recta o un punto, trácense las posibles circunferencias tangentes a ellos".

El mismo enunciado ligeramente retocado puede quedar así:

"Dados tres elementos, que cada uno de ellos puede ser una circunferencia, una recta o un punto, trácense las posibles tangentes comunes"

en el que por tangentes comunes debe entenderse circunferencias, rectas y puntos que entran en contacto con los tres elementos dados sin llegar nunca a intersecar.

En consecuencia pueden considerarse diez casos distintos de un mismo problema:

Los diez casos pueden resumirse en la siguiente lista:

1. PPP. Tangentes comunes a tres puntos.
2. RRR. Tangentes comunes a tres rectas.
3. PPR. Tangentes comunes a una recta y dos puntos.
4. PPC. Tangentes comunes a una circunferencia y dos puntos.
5. PRR. Tangentes comunes a dos rectas y un punto.
6. PRC. Tangentes comunes a una recta, una circunferencia y un punto.
7. PCC. Tangentes comunes a dos circunferencias y un punto.
8. RRC. Tangentes comunes a dos rectas y una circunferencia.
9. RCC. Tangentes comunes a una recta y dos circunferencias.
10. CCC. Tangentes comunes a tres circunferencias.

Obsérvese que he considerado tangente a un punto a aquel elemento (circunferencia, recta o punto) que toca dicho punto.

A su vez, cada uno de los casos tiene sus propios casos particulares oscilando sus soluciones entre ninguna y ocho o infinitas.

A la hora de ordenar los casos por número de soluciones no he contado como tales aquellas en que:

• una de ellas coincide con uno de los elementos dados, 
• dos o más soluciones son coincidentes (en éste caso cuentan todas ellas como una),
• una o más soluciones son un punto (cuando dicho punto es común a los tres elementos dados) exceptuando un par de casos.

El hecho de no computar ciertas soluciones no implica que no deban considerarse.

CONSTRUCCIÓN DINÁMICA DE LAS TANGENCIAS DE APOLONIO.

Se recomienda descargar el archivo y abrirlo en un ordenador con el programa GeoGebra instalado.

Descarga archivo GGB

También puede ver la entrada Un applet para el problema de Apolonio en la Miscelánea del blog
.

En caso de disponer de una buena conexión puede intentar ver el archivo directamente desde GeoGebra Tube, dependiendo del dispositivo utilizado el éxito de la experiencia.